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射影行列 P には、いつも I − P という相棒がいます。この二つを組み合わせると、どんなベクトルも列空間の成分とそれに垂直な成分とにきれいに分かれます。この動画では、I − P もまた直交射影行列であることを冪等性と対称性の両方から確かめ、P と I − P が空間を補い合うしくみを明らかにします。
この動画の内容：
・射影行列 P = A(AᵀA)⁻¹Aᵀ が幾何的に何を計算しているか
・極端な場合 1：b が列空間 C(A) にあれば Pb = b
・極端な場合 2：b が左零空間 N(Aᵀ) にあれば Pb = 0
・直交分解 b = Pb + (I − P)b（列空間の成分と垂直な成分）
・(I − P)² を展開し、P² = P を使って冪等性 (I − P)² = I − P を示す
・転置を分配し、Pᵀ = P を使って対称性を示す
・冪等性だけでは斜めの射影になり、対称性も必要な理由
・P は C(A) へ、I − P は N(Aᵀ) へ射影し、Rⁿ を直交補空間のペアに分ける
・最小二乗法の当てはめ値と残差、信号と雑音への応用
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英語版：
出典：
クレジット：MIT OpenCourseWare, 18.06 Linear Algebra, Spring 2010, Prof. Gilbert Strang — — License: CC BY-NC-SA 4.0. Adapted (rewritten, narrated and animated) by Ludium; changes were made.
日本語版の翻案・制作：Ludium
License: This video is licensed by Ludium under CC BY-NC-SA 4.0 (
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