Tres amigos quedan entre las cinco y las siete y cada uno llega en un momento al azar. ¿A qué hora ya han llegado los tres la mitad de las tardes? A las 18:35. ¿Y nueve de cada diez tardes? A las 18:56. Esas dos horas son cuantiles de una variable aleatoria: la mediana y el percentil 90. Primero, qué es un cuantil: la función de distribución al revés. F(x) da la probabilidad a la izquierda de x (F(1,5) ≈ 0,42); el cuantil de orden p, x_p, es el valor que deja probabilidad p a su izquierda: mediana (p = 1/2), cuartiles (1/4 y 3/4) y percentiles, como los cuartiles de unos datos del nivel 7. Después, una variable discreta: X = número de caras al lanzar tres monedas, con la escalera F = 1/8, 4/8, 7/8, 1. La mediana cae sobre un peldaño plano (F vale 1/2 en todo el tramo de 1 a 2): todos esos valores dejan la mitad a cada lado, así que se define x_p como el menor x con F(x) mayor o igual que p, y la mediana es 1 (otros libros toman el punto medio, 1,5). El primer cuartil cae en un salto (ningún x cumple F(x) = 1/4) y vale 1; el tercero, 2; el percentil 90, 3. Luego, una variable continua: F(x) = x³/8 en [0, 2], estrictamente creciente, así que basta resolver F(x) = p: x_p = 2·∛p. Mediana ∛4 ≈ 1,587 h, primer cuartil ∛2 ≈ 1,260, tercer cuartil ∛6 ≈ 1,817, percentil 90 ∛7,2 ≈ 1,931. El error típico: igualar la densidad a p (da 1,155, con solo 0,19 de probabilidad a su izquierda). Los cuartiles parten el área bajo la densidad en cuatro trozos de 1/4 con anchuras 1,26, 0,33, 0,23 y 0,18 h; el rango intercuartílico es 0,557 h, unos 33 minutos; media 1,5 menor que mediana 1,587: cola a la izquierda. Para terminar, para qué sirven: la mediana de mil quedadas simuladas (1,575) estima la de la variable; los percentiles 95 y 99 del tiempo de respuesta de un servidor (294 y 427 ms, con media 137) y los objetivos «p99 por debajo de 500 ms»; y la regresión cuantílica, que predice percentiles en lugar de un solo número.
La función de distribución de las monedas y de la quedada se explica en los niveles 33 y 34 de esta misma lista, y los cuartiles de unos datos en el nivel 7.
Es el nivel 37 de la lista «Estadística», pensada para primero de los grados en Inteligencia Artificial, Ingeniería Informática y Ciencia de Datos.
Anterior, Nivel 36 (varianza y otras medidas):
Siguiente, teoría (transformaciones de variables aleatorias):
Capítulos:
0:00 ¿A qué hora llega el último?
0:27 El plan de hoy
0:52 La distribución al revés
1:56 Cuantiles en la escalera
3:40 Resolver F(x) = p
4:51 Cuartiles de una densidad
5:54 Para qué sirven
7:06 Resumen
Gradiente: el grado en Inteligencia Artificial, paso a paso. Teoría muy visual y ejercicios resueltos.
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