Intervalles et densité : ℝ* est dense, mais pas un intervalle | Analyse 1 · Ép. 4

Un segment de longueur un milliardième contient-il beaucoup de réels ? Dans cet épisode : ce qu’est vraiment un intervalle (un ensemble sans trou), pourquoi ]a, b[, avec a strictement inférieur à b, contient une infinité de réels (démonstration par l’absurde), la définition de la densité et sa caractérisation avec ε. Et le piège : ℝ* est dense dans ℝ, mais ce n’est pas un intervalle.

Chapitres
0:00 Bonjour
0:08 Une question pour commencer
0:31 Précédemment sur Stepsilon
0:59 Au programme
1:09 Un intervalle : un ensemble sans trou
1:51 Les segments
2:30 Un intervalle n’a pas de trou (en 3D)
3:05 Tous les intervalles de ℝ
3:54 Exercice : lesquels sont des intervalles ?
5:07 Exercice : intersection et réunion
6:17 Retour à la question du début
6:38 Montrer qu’un ensemble contient une infinité d’éléments
7:13 Démonstration par l’absurde
8:16 La densité
9:15 Trois exemples
9:44 ℝ* est dense
10:36 Caractérisation avec ε
11:45 La réciproque
12:22 Intervalle ou partie dense ?
13:08 L’essentiel en une carte
13:40 Dans le prochain épisode

🔁 Les rappels (flashbacks) de cet épisode :
Épisode 1 — les intervalles, la fonction 1/x et la densité :
Épisode 2 — un centre, un rayon :

◀ Épisode précédent — Archimède et partie entière (Analyse 1 · Ép. 3, partie 2) :
▶ Épisode suivant — La densité de ℚ (Analyse 1 · Ép. 5) :
✏️ Exercices corrigés — Intervalles et densité (Analyse 1 · Épisodes 4 et 5 · Exercices) :
✏️ Exercices de l’épisode 3 — Partie entière : 3 exercices corrigés (Analyse 1 · Ép. 3) :
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Ép. 1 — Les nombres réels, et pourquoi √2 est irrationnel :
Ép. 2 — Ordre et valeur absolue :
Ép. 3 (partie 1) — Le plus grand réel strictement inférieur à 1 ? :
Ép. 3 (partie 2) — Propriété d’Archimède et partie entière :
Ép. 5 — La densité de ℚ :
Ép. 4 et 5 — Exercices corrigés :
Ép. 6 (partie 1) — La borne supérieure :

Dernier épisode paru : la borne supérieure (épisode 6, partie 1) :

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