Matematyka w grach karcianych – Dominik Gąska

Wykład Dominika Gąski nagrany przy okazji Dnia Odkrywców Kampusu Ochota 2026 [21 marca 2026 r.]

Czy prosta gra karciana może prowadzić do pytań, nad którymi pracują najwybitniejsi matematycy? Okazuje się, że tak. Dominik Gąska na przykładzie gry Set pokazuje, jak z pozornie prostych zasad można przejść do geometrii skończonej, kombinatoryki i problemów, które w wyższych wymiarach pozostają nierozwiązane.

Na początku poznajemy zasady klasycznego Seta. Każda z 81 kart ma cztery cechy – kolor, kształt, wypełnienie i liczbę symboli – a każda cecha występuje w trzech wariantach. Zadaniem graczy jest odnajdywanie trójek kart, w których dla każdej cechy elementy są albo wszystkie takie same, albo wszystkie różne.

To wystarcza, by zadać pierwsze matematyczne pytania. Ile setów można utworzyć z jedną wybraną kartą? Ile setów znajduje się w całej talii? A przede wszystkim: ile kart można maksymalnie wyłożyć, żeby nie było wśród nich ani jednego seta?

Aby na nie odpowiedzieć, Dominik Gąska zamienia karty w punkty pewnej przestrzeni matematycznej. W prostszym wariancie z dwiema cechami otrzymujemy dziewięć punktów przestrzeni afinicznej nad ciałem trójelementowym. Sety okazują się w niej po prostu prostymi – choć niektóre z tych „prostych” na zwykłym rysunku mogą wyglądać zaskakująco, nawet jak trójkąty.

Dzięki takiemu modelowi problemy z gry można przełożyć na problemy geometryczne i kombinatoryczne. W pełnej wersji Seta, z czterema cechami i 81 kartami, maksymalnie można wybrać 20 kart bez żadnego seta. Dodanie kolejnej gwarantuje już pojawienie się odpowiedniej trójki.

To przykład tzw. problemu cap set – pytania o największy zbiór punktów w przestrzeni nad ciałem trójelementowym, który nie zawiera trzech punktów leżących na jednej prostej. Dla małych wymiarów odpowiedzi znamy, ale wraz ze wzrostem liczby wymiarów problem robi się niezwykle trudny. W wykładzie pojawiają się przykłady konstrukcji dla kolejnych wymiarów, ograniczenia uzyskiwane metodami kombinatorycznymi oraz obliczenia komputerowe. Dla wymiaru siódmego dokładna odpowiedź nadal pozostaje problemem otwartym. Nad zagadnieniami tego typu pracowali m.in. matematycy światowej klasy, w tym Terence Tao.

W drugiej części spotkania poznajemy mniej znaną grę – projektywny, czyli rzutowy Set. Tutaj karty opisane są układami kolorowych kropek, a trzy karty tworzą set wtedy, gdy łączna liczba kropek każdego koloru jest parzysta.

Ta wersja gry prowadzi do zupełnie innej geometrii – przestrzeni projektywnych nad ciałem dwuelementowym. W najprostszym przypadku pojawia się słynna płaszczyzna Fano: siedem punktów i siedem prostych, z których każda odpowiada jednemu setowi.

Ponownie możemy zapytać, ile kart da się wybrać bez utworzenia żadnego seta. Tym razem rozwiązanie jest znacznie bardziej regularne i można je podać dla dowolnego wymiaru. Dominik Gąska pokazuje zarówno prostą konstrukcję takiego zbioru, jak i szkic dowodu, że większego znaleźć się nie da.

Pod koniec wykładu pojawia się jeszcze jedna niespodzianka. Jeśli odpowiednio sformalizujemy pojęcie „gry typu Set”, okazuje się, że istnieją zasadniczo tylko dwa takie modele: klasyczny Set związany z geometrią afiniczną nad ciałem trójelementowym oraz projektywny Set oparty na geometrii nad ciałem dwuelementowym.

Jak 81 kart zamienia się w czterowymiarową przestrzeń? Dlaczego set można potraktować jak prostą? Ile kart można wyłożyć bez znalezienia żadnego seta? Czym jest płaszczyzna Fano? I jak gra towarzyska prowadzi do problemów, których współczesna matematyka wciąż nie potrafi w pełni rozwiązać?

Zapraszamy na wykład pokazujący, że matematyka może kryć się nawet w talii kart – a proste zasady gry mogą prowadzić bardzo daleko w świat geometrii i kombinatoryki.

Wykład Dominika Gąski nagrany podczas Dnia Odkrywców Kampusu Ochota 2026 [21 marca 2026 r.]

#Matematyka #Set #GryKarciane #CapSet #Kombinatoryka #Geometria #GeometriaSkończona #PłaszczyznaFano #TeoriaGier #GryMatematyczne #DominikGąska #DOKO2026 #UniwersytetWarszawski #Nauka #Wszechnica

Jeśli chcesz wspierać Wszechnicę w dalszym tworzeniu treści, organizowaniu kolejnych #rozmówWszechnicy, możesz:
1. Zostać Patronem Wszechnicy FWW w serwisie
2. Możesz wspierać nas, robiąc zakupy za pomocą serwisu Fanimani.pl –
3. Możesz przekazać nam darowiznę na cele statutowe tradycyjnym przelewem
Darowizny dla Fundacji Wspomagania Wsi można przekazywać na konto nr:
33 1600 1462 1808 7033 4000 0001
Fundacja Wspomagania Wsi

Znajdź nas:

source