Was ist die Zahl e? Eine Bank zahlt dir 100 % Zinsen im Jahr. Was passiert, wenn sie die Zinsen nicht einmal im Jahr, sondern jede Sekunde abrechnet? Wirst du unendlich reich? Nein: Du landest bei 2,71828… Euro. Genau das ist die Eulersche Zahl e.
Wir rechnen den Zinseszins Schritt für Schritt aus, sehen, warum es eine Grenze gibt, und finden dieselbe Zahl auf einem ganz anderen Weg wieder: als Summe immer kleinerer Stufen mit Fakultäten. Dann zeigt die Kurve e hoch x, warum e so besonders ist: An jeder Stelle ist ihre Steigung genau so groß wie ihre Höhe. Am Ende verbindet sich e mit i und Pi zur berühmten Formel e hoch i mal Pi gleich minus 1.
Kapitel:
0:00 Was ist die Zahl e?
0:51 Öfter abrechnen
1:59 Die Grenze
3:11 Ein zweiter Weg
4:45 Die Kurve
5:45 Warum 2,718?
6:44 Überall e
7:27 Die Entdeckung
8:34 Die Antwort
Weiter verstehen:
Was ist eine Ableitung?
Mathe, hergeleitet.
Kein Auswendiglernen. Nur die Herleitung.
source
Hätte ich diesen Kanal vor 20 Jahren gehabt, wäre ich jetzt Doppeldoktor der Mathematik. -.-
Ich habe Gemini nicht gefragt, aber vllt kannst dus beantworten: Steckt e auch hinter dem Phänomen der Galaxienflucht: weiter weg befindliche Galaxien entfernen sich schneller… ?
Sinnvoller AI Einsatz. Auf Skript und grafischer Darstellung bezogen.
Danke, sehr gut und verständlich erklärt!
Die Rechnung funktioniert so nicht! Du hast einen Punkt vergessen, die Raffgier des Staates. Am Ende hast du gar nichts!
Vielen Dank für diese schöne Darstellung! Herzliche Grüße!
Also wenn ich 1 € Anlege und am Ende des Jahres 2,25 € habe ich einen effektiven Jahreszinssatz von 125 % 💁🏻♂️
e ist eine Erfindung der Menschen !
Mir ist letztens ein anderes Beispiel für e eingefallen:
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem 12-seitigen Würfel eine 12 zu würfeln, ist 1/12. Nimmt man stattdessen zwei sechsseitige Würfel, ist es 1/36. Bei drei vierseitigen wäre es 1/64 und bei vier dreiseitigen 1/81.
Umgekehrt gefragt gibt es für diese Würfe 12^1 = 12, 6^2 = 36, 4^3 = 64 bzw. 3^4 = 81 Permutationen. Basis und Exponent ergeben multipliziert 12, die allgemeine Form wäre also n^(12/n). Die Frage ist, ob der Wert immer weiter wächst. Und das tut er nicht: 2^6 = 64, 1^12 = 1. die Kurve hat also ein Maximum zwischen 2 und 3, nämlich genau bei e. Man kann e also als den Wert für x definieren, bei dem x^(1/x) maximal wird.
Die anderen Definitionen sind natürlich der bekannte Grenzwert für (1 + 1/x)^x gehen unendlich oder die Reihe 1/0! + 1/1! + 1/2! + … 1/n!.
Super erklärt, gerne mehr.
Schön wärs! Phantasien, der Zinssatz beträgt max. für 4 Monate 4%
Sehr gut erklärt.
7:45 Na ja, Bernoulli hat zumindest festgestellt, dass der Wert zwischen 2,5 und 3 liegt. Und nicht erst Euler hat den genauen Wert (bzw. eigentlich nur einen genaueren Wert – exakt angeben kann man die Zahl ja nicht) gefunden, sondern bereits Leibniz und Cotes hatten jeweils gute Näherungswerte gefunden.
Hab schon an e gedacht 🫣 Zu e gibt es doch so einen schönen Grenzwert (1+1/n)^n….